需乘以y'
复合函数对x求导和对y求导的关系主要体现在隐函数求导法则中，具体分析如下：
一、基本概念
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复合函数求导法则
若$y = f（u）$，$u = g（x）$，则$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。在隐函数中，$y$是$x$的隐函数（如$F（x, y） = 0$），此时对$x$求导需将$y$视为$x$的函数，对$y$求导则视为对$y$自身的导数。
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隐函数求导法则
对于方程$F（x, y） = 0$，两边对$x$求导时，需使用链式法则： $$ \frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0 $$
这里$\frac{\partial F}{\partial x}$是$F$对$x$的偏导数，$\frac{\partial F}{\partial y}$是$F$对$y$的偏导数，$\frac{dy}{dx}$是$y$对$x$的全导数。
二、对$x$求导与对$y$求导的关系
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对$x$求导
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需将$y$视为$x$的函数，使用复合函数求导法则。例如对$xy - e^x + e^y = 0$求导： $$ \frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}, \quad \frac{d}{dx}(e^x) = e^x, \quad \frac{d}{dx}(e^y) = e^y\frac{dy}{dx} $$
最终得到： $$ y + x\frac{dy}{dx} - e^x + e^y\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{e^x - y}{x + e^y} $$
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对$y$求导
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若方程可显式解出$y = f（x）$，则直接对$y$求导。例如对$y^2 + x = 0$求导： $$ 2y\frac{dy}{dx} + 1 = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2y} $$
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但在隐函数中，通常无法显式解出$y$，此时对$y$求导相当于对$x$求导的逆过程，需通过隐函数求导法则间接计算。
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三、关键区别与注意事项
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求导对象不同
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对$x$求导：$y$视为$x$的函数，需乘以$\frac{dy}{dx}$。
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对$y$求导：$x$视为$y$的函数，直接求导（如$\frac{d}{dy}（\ln y） = \frac{1}{y}$）。
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隐函数求导的必要条件
- 需满足$\frac{\partial F}{\partial y} \neq 0$，否则无法唯一确定$\frac{dy}{dx}$。
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应用场景对比
- 显函数求导直接使用导数公式，隐函数求导需借助链式法则和方程变形。
四、总结
复合函数对$x$求导与对$y$求导的核心区别在于是否显式解出函数关系。隐函数求导通过链式法则将两者联系起来，而显函数求导则直接应用导数公式。理解这一关系需结合具体问题选择合适的求导方法。