积分公式
导数求原函数的过程称为积分，是微积分的核心内容之一。虽然不存在所谓的“万能公式”，但通过基本积分公式和法则，可以系统地求解大多数常见函数的原函数。以下是关键方法和公式：
一、基本积分公式
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幂函数 $$\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$
例如：$\int x^2 , dx = \frac{x^3}{3} + C$
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三角函数
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$\int \sin x , dx = -\cos x + C$
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$\int \cos x , dx = \sin x + C$
例如：$\int \cos x , dx = \sin x + C$
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指数函数
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$\int e^x , dx = e^x + C$
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$\int a^x , dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad （a > 0, a \neq 1）$
例如：$\int e^{2x} , dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$
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对数函数 $$\int \ln x , dx = x \ln x - x + C$$
例如：$\int \ln x , dx = x \ln x - x + C$
二、常用积分方法
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换元积分法
通过变量替换简化积分，例如：
- 计算 $\int e^{-2x} , dx$ 时，令 $t = -2x$，则 $dt = -2dx$，代入后得 $-\frac{1}{2}e^{-2x} + C$
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分部积分法
公式为： $$\int u , dv = uv - \int v , du$$
例如：$\int x \ln x , dx$，令 $u = \ln x$，$dv = x , dx$，则 $du = \frac{1}{x}dx$，$v = \frac{x^2}{2}$，代入后得 $\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$
三、注意事项
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积分常数 $C$
原函数族由 $F（x） + C$ 表示，具体值需根据初始条件确定。
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复杂函数处理
对于复杂函数（如 $\sin 2x$），可通过求导逆推（如 $\int \cos 2x , dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C$）或查表获得原函数。
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特殊函数
部分函数（如 $\int e^{-x^2} , dx$）无法用初等函数表示，需借助数值方法或特殊函数（如误差函数）。
四、公式表参考
| 导函数 | 原函数 | 积分区间 |
|---|---|---|
| $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \neq -1$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ | |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ | |
| $e^x$ | $e^x + C$ | |
| $\ln x$ | $x \ln x - x + C$ | $x > 0$ |
通过以上方法和公式，结合积分技巧，可系统求解导函数的原函数。对于复杂问题，建议结合数值计算工具（如MATLAB、Python）辅助分析。