以下是数学证明题的精选题目及答案，涵盖初中及高中阶段经典题型，供学习参考：
一、几何证明题
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平行线判定
已知 $AD \parallel BC$，$\angle A = \angle C$，证明 $AB \parallel DC$。 证明：因为 $AD \parallel BC$，所以 $\angle A + \angle ABC = 180^\circ$，又 $\angle A = \angle C$，则 $\angle C + \angle ABC = 180^\circ$，故 $AB \parallel DC$（同旁内角互补）。
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三角形全等
在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$BD$平分$\angle ABC$，证明$\triangle ABD \cong \triangle CBD$。 证明：$AB = AC$，$\angle ABD = \angle CBD$，$BD = BD$，根据SAS（边角边）定理，$\triangle ABD \cong \triangle CBD$。
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四边形性质
已知四边形$ABCD$是平行四边形，证明对角线互相平分。 证明：设对角线交点为$O$，则$\triangle AOB \cong \triangle COD$（对顶角相等，对边平行），所以$AO = CO$，$BO = DO$。
二、代数证明题
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函数性质
证明函数$f（x） = x^2$在$（0, +\infty）$上是增函数。 证明：对任意$0 < x_1 < x_2$，$f（x_2） - f（x_1） = x_2^2 - x_1^2 = （x_2 - x_1）（x_2 + x_1） > 0$，故$f（x）$在$（0, +\infty）$上递增。
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数列极限
用$\epsilon-\delta$方法证明$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$。 证明：对任意$\epsilon > 0$，取$N = \lceil \frac{1}{\epsilon} \rceil$，当$n > N$时，$|\frac{1}{n} - 0| = \frac{1}{n} < \epsilon$，故极限成立。
三、综合应用题
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几何与代数结合
在直角三角形$ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，$AB = 5$，$AC = 3$，求$AD$的范围（$D$为$BC$中点）。 解：由勾股定理得$BC = 4$，$AD$是直角三角形斜边中线，故$3 \leq AD \leq 5$。
答案总结
以上题目覆盖了几何证明、代数推理及综合应用，建议结合教材和参考资料进行系统学习。若需详细步骤或对某题有疑问，可进一步探讨。