卡方检验的三个核心公式如下：

一、基本公式

$$ \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $$

• $O_i$ ：实际观测频数（样本中某类别的观测次数）

• $E_i$ ：期望频数（在零假设下，根据理论分布计算得到的预期频数）

• 自由度（df） ：$（行数-1） \times （列数-1）$

二、四格表专用公式

当数据为$2 \times 2$四格表时，卡方值为： $$ \chi^2 = \frac{(ad - bc)^2 \cdot n}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} $$

• $a, b, c, d$ ：四格表四个格子的频数

• 自由度（df） ：$（2-1） \times （2-1） = 1$

三、连续性校正公式

当样本量较大但理论频数较小时（如$1 \leq T < 5$），需对卡方值进行连续性校正： $$ \chi^2' = \chi^2 - \frac{(\text{最小理论频数}-1)}{n} $$

• 条件 ：$n \geq 40$ 且至少有一个理论频数$T \geq 5$

补充说明

1. 自由度计算 ：自由度反映了数据中可自由变化的类别数，公式为$（行数-1） \times （列数-1）$。

2. 应用条件 ：需满足$n \geq 40$且所有理论频数$\geq 5$，否则需使用Fisher精确检验（$n < 40$或$T < 5$）。

3. 结果解读 ：通过查卡方分布表或计算p值，判断观测数据与理论分布的差异是否显著（通常以$\alpha = 0.05$为临界值）。

以上公式和条件综合了不同场景下的卡方检验应用，需根据具体数据结构选择合适公式。