以下是高等数学（高数）的典型题目及解析，涵盖选择题、填空题、计算题等类型：
一、选择题
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函数奇偶性
下列函数中满足 $f（-x） = -f（x）$ 的是：
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A. $y = x^2$
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B. $y = |x|$
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C. $y = \sin（x）$
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D. $y = \cos（x）$
答案：C （$\sin（x）$ 是奇函数）
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导数应用
若函数 $f（x）$ 在区间 $（a, b）$ 内可导，且 $f'（x） > 0$，则 $f（x）$ 在该区间内：
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A. 单调递增
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B. 单调递减
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C. 有界
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D. 无界
答案：A （导数大于零表示函数递增）
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二、填空题
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反三角函数
设 $y = \arcsin\sqrt{1 - x^2}$，则 $y$ 的定义域为：
- $[-1, 1]$（因为 $\sqrt{1 - x^2}$ 的取值范围是 $[0, 1]$，$\arcsin$ 的定义域为 $[-1, 1]$）
答案：$[-1, 1]$
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导数计算
设 $y = \frac{1}{x}$，则 $y'$ 为：
- $y' = -\frac{1}{x^2}$
答案：$-\frac{1}{x^2}$
三、计算题
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定积分
计算 $\int_0^1 x e^x , dx$：
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使用分部积分法，设 $u = x$，$dv = e^x , dx$，则 $du = dx$，$v = e^x$。
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结果为 $[x e^x - e^x]_0^1 = （1 \cdot e - e） - （0 - 1） = 1$。 答案：1
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曲线方程
过点 $（1, 2）$ 且切线斜率为 $4x^3$ 的曲线方程为：
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由 $y' = 4x^3$ 积分得 $y = x^4 + C$，代入点 $（1, 2）$ 得 $2 = 1 + C$，解得 $C = 1$。
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方程为 $y = x^4 + 1$。
答案：$y = x^4 + 1$
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四、证明题
证明：若函数 $f（x）$ 在 $x_0$ 处可导且 $f'（x_0） > 0$，则 $f（x）$ 在 $x_0$ 附近单调递增。
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由导数定义，存在 $\delta > 0$ 使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，$\frac{f（x） - f（x_0）}{x - x_0} > 0$。
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当 $x > x_0$ 时，$f（x） > f（x_0）$；当 $x < x_0$ 时，$f（x） < f（x_0）$。
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$f（x）$ 在 $x_0$ 附近单调递增。
以上题目及解析均基于高等数学基础知识点，涵盖函数性质、导数应用、积分计算等核心内容。