高数中常用的近似公式主要应用于极限计算、导数近似和积分计算等领域，以下是核心公式的整理与分类：
一、极限近似公式
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线性化公式 $$f(x) \approx f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$
用于函数在某点附近的线性近似，例如 $f（x） = \ln（1+x）$ 在 $x=0$ 附近的近似为 $y = x - 1$。
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泰勒公式（多项式近似）
通过函数在某点的各阶导数构造多项式，用于近似计算复杂函数值。例如：
$$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}$$对数函数： $$\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$$
幂函数： $$(1+x)^n \approx 1 + nx + \frac{n(n-1)x^2}{2!}$$ 。
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洛必达法则
用于求未定式极限，公式为： $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$
例如： $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$$ 。
二、导数相关公式（辅助近似）
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基本求导法则
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幂函数：$（x^n）' = nx^{n-1}$
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指数函数：$（e^x）' = e^x$
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对数函数：$（\ln x）' = \frac{1}{x}$
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三角函数：$（\sin x）' = \cos x$，$（\cos x）' = -\sin x$ 。
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导数的几何意义
函数在某点的导数即为该点切线的斜率，可用于近似曲线方程。例如：
曲线 $y = f（x）$ 在点 $（a, f（a））$ 处的切线方程为：
$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ 。
三、积分近似公式
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基本积分公式
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$\int \sin x , dx = -\cos x + C$
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$\int \cos x , dx = \sin x + C$
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$\int e^x , dx = e^x + C$ 。
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定积分近似方法
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梯形法则 ：将区间分成n等份，近似积分值为：
$$\int_a^b f(x) , dx \approx \frac{b-a}{2n} \left[ f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(a + ih) + f(b) \right]$$ -
辛普森法则 ：在梯形法则基础上改进，公式为：
$$\int_a^b f(x) , dx \approx \frac{b-a}{3n} \left[ f(a) + 4\sum_{i=1, \text{ odd}}^{n-1} f(a + ih) + 2\sum_{i=2, \text{ even}}^{n-2} f(a + ih) + f(b) \right]$$ 。
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四、其他重要公式
- 拉格朗日中值定理 ：若函数在闭区间 $[a, b]$ 上可导，则存在 $\xi \in （a, b）$ 使得：
$$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$$ 。- 柯西中值定理 ：若函数在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 上可导，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：
$$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f