判断一个随机变量是否服从二维正态分布，主要依据其概率密度函数的形式及性质。以下是具体方法：

一、核心判定条件

1. 概率密度函数形式

   若随机向量 \（（X,Y）\） 的联合概率密度函数满足：

   [

   f（x,y） = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left{-\frac{1}{2（1-\rho^2）}\left[\frac{（x-\mu_1）^2}{\sigma_1^2} - 2\rho\frac{（x-\mu_1）（y-\mu_2）}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{（y-\mu_2）^2}{\sigma_2^2}\right]\right}

   ]

   其中 \（\mu_1, \mu_2\） 为均值，\（\sigma_1, \sigma_2\） 为标准差，\（\rho\） 为相关系数，则 \（（X,Y）\） 服从二维正态分布。

2. 边缘分布正态性

   若二维正态分布的边缘分布均为正态分布，则该分布必然是二维正态分布。反之，若已知边缘分布为正态分布，需进一步验证联合分布是否满足二维正态形式。

二、关键性质辅助判断

1. 线性组合仍正态

   任意线性组合 \（aX + bY\）（\（a,b\） 不全为0）服从一维正态分布，这是二维正态分布的重要特征。

2. 独立与不相关的关系

   对于二维正态分布，\（X\） 与 \（Y\） 独立的充要条件是 \（\rho = 0\）（即不相关）。

三、注意事项

• 若仅知道边缘分布为正态分布，不能直接判定联合分布为二维正态分布，需验证联合密度函数形式。

• 部分题目可能通过已知条件（如独立性、线性组合性质）间接推断二维正态性，但需结合具体问题分析。

最直接的判定方法是检查联合概率密度函数是否满足二维正态公式，同时可借助边缘分布和线性组合性质辅助验证。