当随机变量 \（ X \） 服从正态分布时，\（ X^2 \） 的分布情况如下：
-
一般正态分布情况
若 \（ X \sim N（\mu, \sigma^2） \），则 \（ X^2 \） 服从自由度为1的非中心卡方分布（Noncentral Chi-Squared Distribution），其概率密度函数为：
[
f_{X^2}（x） = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^4}} \exp\left（-\frac{x^2}{2\sigma^4}\right）
]
这里 \（ \mu \） 和 \（ \sigma \） 分别是 \（ X \） 的均值和标准差。
-
标准正态分布情况
若 \（ X \sim N（0, 1） \）（标准正态分布），则 \（ X^2 \） 服从自由度为1的卡方分布（Chi-Squared Distribution），记为 \（ \chi^2（1） \）。其概率密度函数为：
[
f_{\chi^2}（x） = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}\Gamma\left（\frac{1}{2}\right）} x^{\frac{1}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x}{2}}
]
这是伽马分布 \（ \Gamma\left（\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right） \） 的特例。
-
样本均值的平方情况
若 \（ X_1, X_2, \ldots, X_n \） 是独立同分布的 \（ N（\mu, \sigma^2） \） 随机变量，样本均值 \（ \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \） 的平方 \（ \bar{X}^2 \） 服从 \（ \chi^2 \） 分布，自由度为 \（ n-1 \）：
[
\bar{X}^2 \sim \chi^2（n-1）
]
这是卡方分布的可加性特性的应用。
总结 ：\（ X^2 \） 的具体分布取决于 \（ X \） 的分布参数。对于一般正态分布 \（ N（\mu, \sigma^2） \），\（ X^2 \） 服从自由度为1的非中心卡方分布；对于标准正态分布 \（ N（0, 1） \），则服从自由度为1的卡方分布。