关于点到直线距离公式的PPT内容，以下是核心信息的整理与结构化建议：

一、核心公式与定义

1. 公式表达式

   点$P（x_0, y_0）$到直线$Ax + By + C = 0$的距离公式为： $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

   其中，$\sqrt{A^2 + B^2}$是直线的法向量长度。

2. 几何意义

   距离$d$表示点$P$到直线的垂线段长度，是点$P$到直线上任意一点距离的最小值。

二、公式推导与证明

1. 向量法证明

   • 设直线方向向量为$\mathbf{v} = （B, -A）$，法向量为$\mathbf{n} = （A, B）$。 - 点$P（x_0, y_0）$到直线上任意点$Q（x, y）$的向量$\overrightarrow{PQ}$在法向量$\mathbf{n}$方向上的投影长度即为距离$d$。 - 通过向量投影公式，可得$d = \frac{|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{PQ}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。

2. 几何法证明

   通过构造垂线段，利用勾股定理推导出距离公式，与向量法本质一致。

三、应用示例

计算点$P（-1, 2）$到直线$2x + y - 10 = 0$的距离： $$d = \frac{|2(-1) + 1(2) - 10|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-2 + 2 - 10|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$$

四、注意事项

1. 直线方程形式

   公式要求直线方程为一般式$Ax + By + C = 0$，若直线为斜截式$y = kx + b$，需先转化为一般式。

2. 坐标顺序无关性

   距离公式中$A$、$B$的顺序不影响结果，因为$A^2 + B^2$始终为正。

五、课堂活动建议

• 动手计算 ：给定不同点与直线，让学生计算距离并验证公式。- 向量应用 ：引导学生理解向量投影在几何中的意义，加深对公式的理解。以上内容可根据教学需求调整PPT页数和深度，建议配合几何图形和动画演示以增强理解。