求斜渐近线的公式为：当函数 ( y = f(x) ) 满足 (\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a) 且 (\lim_{x \to \infty} [f(x) - ax] = b) 时，斜渐近线方程为 ( y = ax + b )。 这一方法适用于函数在无穷远处趋近于一条直线的情况，是分析函数渐进行为的重要工具。

1. 判断条件
   斜渐近线存在的关键是两个极限均存在且有限。首先计算斜率 ( a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} )，若 ( a ) 为非零常数，再求截距 ( b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - ax] )。若两者均成立，则斜渐近线存在。

2. 计算步骤

   • 分式函数示例：对于 ( f(x) = \frac{3x^2 + 2}{x - 1} )，先化简为 ( 3x + 3 + \frac{5}{x - 1} )，易得 ( a = 3 )，( b = 3 )，斜渐近线为 ( y = 3x + 3 )。
   • 其他函数类型：如含指数或根号的函数，需通过泰勒展开或分子有理化简化后再求极限。

3. 常见误区

   • 忽略 ( a ) 为0的情况（此时可能为水平渐近线）。
   • 未验证截距 ( b ) 的存在性，误将斜率存在等同于斜渐近线存在。

总结：斜渐近线公式通过极限刻画函数的长期趋势，适用于多项式分式等函数。计算时需逐步验证斜率与截距，避免遗漏条件。