以下是求导数的简单例题及解析，涵盖基础函数求导和导数定义应用：
一、基础函数求导
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常数函数
$f（x） = C$（$C$为常数）
导数：$f'（x） = 0$
解析：常数函数的图像是水平线，斜率为0。
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幂函数
$f（x） = x^n$（$n$为实数）
导数：$f'（x） = nx^{n-1}$
解析：通过导数定义或幂函数求导法则得出。
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指数函数
$f（x） = a^x$（$a > 0$且$a \neq 1$）
导数：$f'（x） = a^x \ln a$
解析：利用对数求导法或链式法则。
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三角函数
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$f（x） = \sin x$，导数：$f'（x） = \cos x$
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$f（x） = \cos x$，导数：$f'（x） = -\sin x$
解析：三角函数导数公式为标准结论。
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对数函数
$f（x） = \ln x$（$x > 0$），导数：$f'（x） = \frac{1}{x}$
解析：通过导数定义或对数性质推导。
二、导数定义应用
例题 ：求函数$f（x） = x（x-1）（x-2）\cdots（x-100）$在$x=0$处的导数。
解法 ：
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方法一 ：直接应用导数定义
$f'（0） = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f（\Delta x） - f（0）}{\Delta x}$
代入计算得：$f'（0） = （-1）（-2）\cdots（-100） = 100!$
解析：通过极限定义计算导数。
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方法二 ：多项式展开
设$f（x） = a_{101}x^{101} + a_{100}x^{100} + \cdots + a_1x + a_0$，则$f'（0） = a_1$，其中$a_1 = （-1）（-2）\cdots（-100） = 100!$
解析：利用多项式求导法则。
三、综合应用
例题 ：求函数$f（x） = 3x^4 + \sin x$的导数。 解法 ：
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分别求导：
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$（3x^4）' = 12x^3$（幂函数求导）
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$（\sin x）' = \cos x$（三角函数求导）
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合并结果：
$f'（x） = 12x^3 + \cos x$
解析：多项式与三角函数导数相加。
四、注意事项
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求导时需注意函数定义域，如对数函数需$x > 0$。
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复合函数求导需使用链式法则，例如$（\sin（x^2））' = 2x\cos（x^2）$。