用导数定义求导的步骤可分为以下三个核心环节，结合具体函数实例说明：

一、导数定义公式

导数定义为函数在某一点处的瞬时变化率，其数学表达式为： $$ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$

该公式适用于所有可导函数，通过极限运算确定导数。

二、增量计算

计算函数在$x_0$处的增量$\Delta y$： $$ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) $$

例如，对于幂函数$y = x^n$，增量$\Delta y = （x_0 + \Delta x）^n - x_0^n$。

三、极限运算

将增量$\Delta y$与$\Delta x$的比值化简，并求$\Delta x \to 0$时的极限：

1. 化简比值 ：通过代数变形（如因式分解、等价无穷小替换）简化表达式。

2. 求极限 ：利用极限运算法则（如洛必达法则、夹逼准则）计算极限值。

示例：幂函数$y = x^n$的导数推导

1. 计算增量： $$ \Delta y = (x_0 + \Delta x)^n - x_0^n $$

2. 求比值： $$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(x_0 + \Delta x)^n - x_0^n}{\Delta x} $$

3. 求极限： $$ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x_0 + \Delta x)^n - x_0^n}{\Delta x} = nx_0^{n-1} $$

通过上述步骤，利用导数定义推导出幂函数的导数公式。

注意事项

• 并非所有函数均可直接用导数定义求导，需先判断函数在某点是否连续且可导。

• 复杂函数可结合基本公式与运算法则分步求解。