(u'v - uv')/v²

导数中除法法则的公式及应用说明如下：

一、基本公式

对于两个可导函数 $u（x）$ 和 $v（x）$，其商的导数公式为： $$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$

其中 $u'$ 和 $v'$ 分别表示 $u（x）$ 和 $v（x）$ 的导数。

二、公式推导说明

该公式可通过以下步骤推导：

1. 差商极限定义 ：根据导数的定义，$\left（\frac{u}{v}\right）' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{u（x+\Delta x）}{v（x+\Delta x）} - \frac{u（x）}{v（x）}}{\Delta x}$。

2. 分子有理化 ：通过通分和化简，最终得到 $\frac{u'v - uv'}{v^2}$。

三、应用示例

计算 $y = \frac{x^2 + 1}{x}$ 在 $x = 2$ 处的导数：

1. 求导 ：应用除法法则 $$ y' = \frac{(2x)(x) - (x^2 + 1)}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} $$

2. 代入求值 ：当 $x = 2$ 时 $$ y' = \frac{2^2 - 1}{2^2} = \frac{4 - 1}{4} = \frac{3}{4} $$

四、注意事项

1. 分母不为零 ：公式要求 $v（x） \neq 0$，否则导数不存在。

2. 链式法则结合 ：复杂函数可拆分后用链式法则处理。

五、实际应用领域

除法导数在物理学（如运动学）、经济学（如边际分析）等领域有广泛应用，例如计算速度、加速度或成本变化率。

通过以上内容，可系统掌握导数中除法法则的公式、推导及应用方法。