利用导数定义求极限的核心步骤如下，结合具体例题说明：
一、核心步骤
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确认函数可导性
首先判断函数在目标点是否可导。若不可导，则需通过其他方法处理。
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计算导数表达式
根据导数定义，计算函数在目标点的导数。导数定义公式为： $$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$
例如，求 $f（x） = x^2$ 在 $x=0$ 处的极限，先计算导数 $f'（0） = 0$，则极限值为0。
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代入导数结果
若导数存在，直接将目标点代入导数表达式，得到极限值。例如，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin（x）}{x} = 1$（通过导数计算得出）。
二、典型例题解析
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例题1 ：$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$
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分解分子：$\frac{（x+1）（x-1）}{x-1}$
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约分后得：$\lim_{x \to 1} （x+1） = 2$
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通过导数定义验证：$f'（1） = \lim_{x \to 1} \frac{（x^2 - 1） - 0}{x - 1} = \lim_{x \to 1} （x+1） = 2$。
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例题2 ：$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos（x）}{x}$
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计算导数：$f'（0） = \lim_{x \to 0} \frac{\sin（x）}{1} = 0$
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通过导数定义验证：$f'（0） = \lim_{x \to 0} \frac{（1 - \cos（x）） - 0}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin（x）}{1} = 0$。
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例题3 ：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$
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计算导数：$f'（0） = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1$
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通过导数定义验证：$f'（0） = \lim_{x \to 0} \frac{（e^x - 1） - 0}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1$。
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三、注意事项
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导数不存在的情况 ：若函数在目标点不可导（如 $f（x） = \frac{1}{x}$ 在 $x=0$），需通过其他方法（如洛必达法则、等价无穷小代换）处理。
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复合函数处理 ：对于复合函数，使用链式法则求导后再代入极限。
通过以上步骤，可系统地利用导数定义求解极限问题。