一阶零输入响应公式根据系统类型不同有所差异，具体如下：

一、一阶微分方程系统（如RC、RL电路）

1. 零输入响应公式

   • RC电路 ：$u_C（t） = u_{C0+} e^{-\frac{t}{RC}}$

   • RL电路 ：$i_L（t） = i_{L0+} e^{-\frac{t}{RL}}$

   • 推导过程 ：通过拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程，解得$Y（s） = \frac{y（0）}{s + a}$，反变换后得到指数衰减形式。

2. 时间常数$\tau$

   • 定义为$\tau = RC$（电阻与电容）或$\tau = \frac{L}{R}$（电感与电阻），决定响应衰减速度。

二、一阶系统（传递函数形式）

1. 零输入响应公式

   • 一般形式为$y（t） = y（0） e^{-at}$，其中$a$为系统系数，$y（0）$为初始条件。

2. 推导依据

   • 通过拉普拉斯变换将微分方程$sY（s） + aY（s） = y（0）$转化为代数方程，解得$Y（s） = \frac{y（0）}{s + a}$，反变换后得到指数形式。

三、注意事项

• 初始条件 ：零输入响应仅与初始条件$y（0）$相关，与输入信号无关。

• 稳态与过渡 ：指数衰减函数最终趋近于零，代表系统达到稳态。

以上公式适用于线性时不变系统，实际应用中需根据具体电路参数选择对应形式。