关于二元函数 $z = f（x, y）$ 的偏导数，以下是四个基本公式及相关说明：
一、一阶偏导数公式
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对 $x$ 的偏导数
将 $y$ 固定，对 $x$ 求导： $$ f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + 2xy) = 2x + 2y $$
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对 $y$ 的偏导数
将 $x$ 固定，对 $y$ 求导： $$ f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + 2xy) = 2x $$
二、二阶偏导数公式
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对 $x$ 的二阶偏导数
先对 $x$ 求导，再对 $x$ 求导： $$ f_{xx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (2x + 2y) = 2 $$
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对 $y$ 的二阶偏导数
先对 $y$ 求导，再对 $y$ 求导： $$ f_{yy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (2x) = 0 $$
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混合二阶偏导数
先对 $x$ 求导，再对 $y$ 求导： $$ f_{xy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (2x + 2y) = 2 $$
由于二阶偏导数连续，混合偏导数满足交换律： $$ f_{yx}(x, y) = f_{xy}(x, y) = 2 $$
三、补充说明
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偏导数的几何意义 ：$f_x（x_0, y_0）$ 表示函数在点 $（x_0, y_0）$ 处沿 $x$ 轴方向的切线斜率，$f_y（x_0, y_0）$ 表示沿 $y$ 轴方向的切线斜率。
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可导条件 ：若函数在某点的两个一阶偏导数均存在，则该函数在该点可导。
以上公式适用于二元函数的基本求导规则，若函数形式更复杂（如复合函数），需结合链式法则进一步推导。