交通事故责任认定书迟迟未出具时，可以通过以下方法进行催促：

1. 主动联系交警部门

• 说明情况：及时与负责处理事故的交警部门联系，说明事故责任认定书未出具的情况，并表达自己的关切。
• 询问进度：了解当前责任认定工作的进展，包括是否需要补充材料或进一步调查。

2. 提供必要材料

• 补充材料：如果责任认定需要额外的证据或文件，应尽快提交，例如车辆检查报告、目击者证言等。
• 确保材料完整：确保提交的材料齐全且符合要求，避免因材料不足而延误认定。

3. 通过投诉或法律途径

• 投诉：如果交警部门未能在法定时间内出具责任认定书，可以向其上级部门或相关部门进行投诉。
• 法律途径：根据《道路交通事故处理程序规定》，责任认定书应在事故发生后10日内出具，若涉及鉴定则需在鉴定结论确定后5日内出具。若超过此期限，可通过法律途径申请复核或提起行政诉讼。

4. 保持礼貌与耐心

• 避免冲突：在催促过程中，保持礼貌和理性，避免使用不当言语或行为，以免影响处理进度。
• 持续跟进：定期与交警部门沟通，了解最新进展，确保问题得到及时解决。

通过以上方法，您可以更有效地催促交通事故责任认定书的出具，保障自身权益。