判断函数是否存在斜渐近线，主要通过以下步骤进行：
一、核心判断条件
当函数在 $x \to \infty$ 或 $x \to -\infty$ 时，若满足以下两个极限均存在且有限，则存在斜渐近线：
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斜率 $k$ ：$\lim_{x \to \infty} \frac{f（x）}{x} = k$（需 $k \neq 0$）
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截距 $b$ ：$\lim_{x \to \infty} [f（x） - kx] = b$
二、具体判断步骤
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计算斜率 $k$
通过极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{f（x）}{x}$ 判断是否存在非零有限值。若极限为0，则可能存在水平渐近线而非斜渐近线。
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计算截距 $b$
在确认 $k \neq 0$ 后，计算 $\lim_{x \to \infty} [f（x） - kx]$。若极限存在且为有限值，则 $y = kx + b$ 为斜渐近线。
三、注意事项
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特殊情况处理 ：若 $k = 0$，则函数可能存在水平渐近线 $y = b$，需单独判断。
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多区间验证 ：对于分段函数，需分别在 $x \to \infty$ 和 $x \to -\infty$ 时验证上述极限。### 四、示例
以 $f（x） = \frac{1}{x} + \ln（1+e^x）$ 为例：
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计算 $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f（x）}{x} = \lim_{x \to \infty} \left（ \frac{1}{x^2} + \frac{\ln（1+e^x）}{x} \right） = 1$（存在且非零）。
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计算 $b = \lim_{x \to \infty} [f（x） - kx] = \lim_{x \to \infty} \left（ \frac{1}{x} + \ln（1+e^x） - x \right） = 0$（存在且有限）。
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斜渐近线为 $y = x$。