求函数的铅直渐近线主要通过以下步骤实现，结合函数间断点和极限分析：
一、核心步骤
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确定间断点
找出函数未定义或分母为零的点，这些点可能是潜在的渐近线位置。例如，对于函数 \（ f（x） = \frac{x^2 + x}{x^2 - 1} \），分母为零的点为 \（ x = \pm 1 \） 。
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计算极限
分别计算函数在间断点处的左极限和右极限：
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若 \（ \lim_{x \to x_0^-} f（x） = \infty \） 或 \（ \lim_{x \to x_0^+} f（x） = \infty \），则 \（ x = x_0 \） 为铅直渐近线。
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例如，对于 \（ x = 1 \），计算 \（ \lim_{x \to 1^-} f（x） \） 和 \（ \lim_{x \to 1^+} f（x） \），若均趋向无穷，则 \（ x = 1 \） 是铅直渐近线。
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二、注意事项
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双侧与单侧渐近线 ：需分别判断左极限和右极限是否同时趋向无穷，以确定渐近线类型。
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与其他渐近线的关系 ：若函数存在水平渐近线（即 \（ \lim_{x \to \pm\infty} f（x） = c \）），则不可能存在铅直渐近线；反之亦然。
三、示例
以 \（ f（x） = \frac{1}{x-1} \） 为例：
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间断点为 \（ x = 1 \）。
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计算极限：\（ \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x-1} = -\infty \） 和 \（ \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-1} = +\infty \）。
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因左右极限均趋向无穷，故 \（ x = 1 \） 是铅直渐近线。
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