以下是20个较难的奥数题，涵盖不同难度层次和知识点，供参考：
一、几何与图形类
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正方形内点问题
在正方形ABCD内，点P满足∠PAD=∠PDA=15°，证明△PBC是正三角形。
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圆柱注水问题
一个圆柱形容器容积为V立方米，先用小水管注水至一半高度，改用口径为小水管2倍的大水管注满剩余部分，求两管注水速度。
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三线八角定理
在等腰三角形中，作顶角平分线、底边中线及底边高线，证明三条线交于一点。
二、数论与代数类
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同余方程问题
求满足x ≡ 2 （mod 5）、x ≡ 4 （mod 6）、x ≡ 5 （mod 7）的最小正整数x。
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斐波那契数列性质
证明斐波那契数列中，任意一项除以4的余数以60为周期循环。
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代数恒等式证明
证明对于任意正整数n，（n²-1）/n² = 1 - 1/（n+1）²。
三、组合与概率类
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鸽巢原理应用
20个苹果分给11个孩子，至少有3个孩子得到相同数量的苹果。
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错排问题
求n个元素的错排数D（n），并证明D（n） = （n-1）（D（n-1） + D（n-2））。
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概率计算
从一副52张牌中随机抽取5张，求这5张牌中至少有一对王牌的概率。
四、综合应用类
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行程问题
甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，第一次相遇时甲走了75千米，第二次相遇时甲走了225千米，求A、B两地距离。
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利润与折扣问题
某商品原价100元，先提价20%再打8折，最终售价是多少？若成本为80元，利润率为多少？。
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密码学基础
设密码由大小写字母组成，长度为8位，求所有可能密码的总数。
解题建议
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几何题 ：多画辅助线，利用相似三角形或对称性质。
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数论题 ：从余数入手，结合同余方程逐步推导。
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组合题 ：通过枚举或递推关系寻找规律。
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概率题 ：明确样本空间，运用古典概型公式计算。
部分题目可能需要结合多个知识点，建议先从基础题练起，逐步提升难度。
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