Σ((O-E)/E)²
卡方统计量的推算涉及以下步骤，结合了理论期望与实际观测值的差异分析：
一、核心计算公式
卡方统计量的基本公式为： $$ \chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} $$
其中：
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$O$ 表示观察频数（实际数据值）
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$E$ 表示期望频数（理论预测值）
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$\sum$ 表示对所有类别求和
二、计算步骤
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整理数据为列联表
将数据按行和列分类，例如比较性别与产品喜好的2×2列联表：
喜欢 不喜欢 总计 男生 20 30 50 女生 40 10 50 -
计算期望频数
期望频数是在假设变量独立的情况下，各类别的预测值。计算公式为： $$ E_{ij} = \frac{(行总计) \times (列总计)}{总计} $$
例如，男生组中喜欢产品的期望频数为： $$ E_{男,喜欢} = \frac{50 \times 60}{100} = 30 $$
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计算卡方统计量
对每个类别，计算$（O - E）^2 / E$并求和： $$ \chi^2 = \frac{(20-30)^2}{30} + \frac{(30-20)^2}{20} + \frac{(40-30)^2}{30} + \frac{(10-40)^2}{10} = 16.67 $$
三、补充说明
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自由度计算
自由度公式为： $$ df = (行数 - 1) \times (列数 - 1) $$
对于2×2列联表，自由度为1。
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应用场景
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独立性检验 ：判断两个变量是否独立（如性别与产品偏好）。
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拟合优度检验 ：评估观测数据是否符合预期分布（如年龄分布）。
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显著性判断
通过卡方分布表或软件（如Excel的
CHISQ.TEST）计算p值，判断差异是否显著。
四、示例总结
以2×2列联表为例，通过计算卡方值16.67，并结合自由度1，可判断性别与产品偏好是否存在显著关联。若p值小于0.05，则拒绝原假设，认为两者相关。
以上步骤综合了理论推导与实际应用，确保了卡方统计量的准确计算与合理解读。