高数下册知识点总结公式主要包括以下内容，涵盖空间解析几何、多元函数、积分、向量代数等核心模块：
一、空间解析几何与向量代数
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N维距离公式
两点$P（x_1, \cdots, x_n）$与$Q（y_1, \cdots, y_n）$的距离： $$ d(P, Q) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + \cdots + (x_n - y_n)^2} $$
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向量运算
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向量模：$| \mathbf{a} | = \sqrt{a_1^2 + \cdots + a_n^2}$
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点乘：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + \cdots + a_nb_n$
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叉乘：$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$（结果向量垂直于$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$）
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二、多元函数微分学
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偏导数
对$x$求偏导时，将$y$视为常量：$\frac{\partial f}{\partial x}$
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全微分
$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$
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混合偏导数
在连续条件下$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$
三、积分学
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二重积分性质
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线性性质：$\iint （kf（x,y） \pm g（x,y）） d\sigma = k\iint f（x,y） d\sigma \pm \iint g（x,y） d\sigma$
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中值定理：$\iint_D f（x,y） d\sigma = f（\xi, \eta） \cdot S_D$，其中$（\xi, \eta） \in D$，$S_D$为区域面积
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积分次序转换
通过计算$\frac{\partial}{\partial x}\left（\iint_D f（x,y） dy\right）$或$\frac{\partial}{\partial y}\left（\iint_D f（x,y） dx\right）$确定积分限
四、隐函数与方程组
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隐函数求导
$F（x,y,z）=0$时，$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$，方程组$\begin{cases}F（x,y,z）=0 \ G（x,y,z）=0\end{cases}$的导数公式为：
$$ \frac{du}{dx} = -\frac{F_xG_y - F_yG_x}{F_xF_y} $$ -
曲线与曲面方程
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空间直线：对称式方程$\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}$
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平面方程：点法式$A（x-x_0） + B（y-y_0） + C（z-z_0） = 0$
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五、几何应用
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向量投影
向量$\mathbf{a}$在$\mathbf{b}$上的投影：$\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2} \mathbf{b}$
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夹角与垂直判定
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向量夹角余弦：$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}$
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垂直判定：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$
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