Σ((O - E)² / E)
卡方分布统计量的计算涉及以下关键步骤和要点，综合多个权威来源整理如下：
一、卡方统计量公式
卡方统计量的核心计算公式为： $$ \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $$
其中：
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$O_i$ 表示第 $i$ 个类别的观察频数（Observed Frequency）；
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$E_i$ 表示第 $i$ 个类别的期望频数（Expected Frequency）；
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$\sum$ 表示对所有类别求和。
二、期望频数的计算
期望频数 $E_i$ 的计算公式为： $$ E_i = \frac{(行数 - 1) \times (列数 - 1)}{行数} $$
或者对于单行数据： $$ E_i = \text{行总计} \times \frac{列总计}{行总计} $$
例如，在2×2列联表中，若行总计为 $R$，列总计为 $C$，则 $E_{ij} = \frac{（R-1）（C-1）}{R}$。
三、自由度的确定
自由度（Degrees of Freedom, df）的计算公式为： $$ df = (行数 - 1) \times (列数 - 1) $$
例如，2×2列联表的自由度为 $（2-1）（2-1）=1$。
四、卡方分布的应用
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拟合优度检验 ：用于检验观测数据与理论分布的拟合程度。若计算得到的 $\chi^2$ 值小于临界值，则接受原假设（即观测数据与理论分布一致）。
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独立性检验 ：用于判断两个分类变量是否独立。通过比较观测频数与期望频数的差异，评估变量间的关联性。
五、示例计算
假设有以下2×2列联表：
| 类别1 | 类别2 | 总计 |
|---|---|---|
| 观测频数 | 40 | 60 |
| 观测频数 | 30 | 70 |
| 总计 | 70 | 130 |
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计算期望频数 ：
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$E_{11} = \frac{（70-1） \times 100}{130} \approx 53.85$
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$E_{12} = \frac{（70-1） \times 30}{130} \approx 16.15$
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$E_{21} = \frac{（60-1） \times 100}{130} \approx 46.15$
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$E_{22} = \frac{（60-1） \times 30}{130} \approx 13.85$
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计算卡方统计量 ： $$ \chi^2 = \frac{(40-53.85)^2}{53.85} + \frac{(60-16.15)^2}{16.15} + \frac{(30-46.15)^2}{46.15} + \frac{(70-13.85)^2}{13.85} \approx 11.58 $$
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确定临界值并作出决策 ：
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自由度为1，显著性水平0.05时，临界值约为3.841。
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由于 $\chi^2 = 11.58 > 3.841$，拒绝原假设，认为观测数据与理论分布存在显著差异。
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六、注意事项
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卡方统计量值需大于0，且与自由度相关；
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实际应用中常结合卡方分布表或统计软件（如Excel的CHISQ.DIST函数）计算累积概率和临界值。
通过以上步骤，可系统计算卡方统计量并应用于统计推断中。