卡方检验是统计学中用于分析分类变量关联性的核心方法，其核心依赖于​​四个基本公式​​：​​观察频数（O）​​记录实际数据，​​理论频数（E）​​基于独立假设计算期望值，​​卡方值（χ²）​​量化观察与理论的差异（公式为${\chi }^2=\Sigma \frac{(O-E{)}^2}{E}$），​​自由度（df）​​调整行列维度影响（公式为$df=(r-1)\times (c-1)$）。这些公式共同构成假设检验的基础，广泛应用于医学、社会科学等领域。

1. ​​观察频数（O）​​
   实际数据中每个类别的计数，直接反映样本分布。例如，调查性别与吸烟习惯时，男性吸烟者人数即为观察频数。

2. ​​理论频数（E）​​
   假设变量独立时的期望频数，计算公式为$E=\frac{行合计\times 列合计}{总样本数}$。若性别与吸烟无关，则男性吸烟者的理论频数由边缘分布推算。

3. ​​卡方值（χ²）​​
   通过累加所有单元格的$\frac{(O-E{)}^2}{E}$得到，值越大表明实际数据与独立假设偏离越显著。例如，χ²=9.42时可能拒绝原假设。

4. ​​自由度（df）​​
   由列联表的行列数决定，影响卡方分布的临界值选择。2×2表格的自由度为1，而3×3表格的自由度为4。

掌握这四个公式可准确判断分类变量的关联性，但需注意样本量（避免理论频数<5）和适用条件。合理应用卡方检验能有效揭示数据背后的规律，辅助科学决策。