概率方差的计算公式推导过程如下：
一、定义与核心公式
概率方差的定义是随机变量与其数学期望（均值）之间离差平方的加权平均数。其核心公式为： $$ \text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2] $$
其中：
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$X$ 是随机变量
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$\mu = E（X）$ 是 $X$ 的均值
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$E$ 表示期望运算
二、推导步骤
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离差平方的期望
根据定义，方差是每个数据点与均值差值的平方的期望值： $$ \text{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p(x_i) (x_i - \mu)^2 $$
其中 $p（x_i）$ 是随机变量 $X$ 取值为 $x_i$ 的概率。
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展开平方项
将 $（x_i - \mu）^2$ 展开： $$ (x_i - \mu)^2 = x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2 $$
代入期望公式： $$ \text{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p(x_i) (x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2) $$
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线性拆分期望
利用期望的线性性质，将上式拆分为三个部分： $$ \text{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p(x_i) x_i^2 - 2\mu \sum_{i=1}^n p(x_i) x_i + \sum_{i=1}^n p(x_i) \mu^2 $$
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简化中间项
由于 $\sum_{i=1}^n p（x_i） = 1$ 且 $\mu = \sum_{i=1}^n p（x_i） x_i$，中间项为： $$ -2\mu \sum_{i=1}^n p(x_i) x_i = -2\mu^2 $$
因此： $$ \text{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p(x_i) x_i^2 - 2\mu^2 + \mu^2 = \sum_{i=1}^n p(x_i) x_i^2 - \mu^2 $$
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定义 $E（X^2）$
令 $E（X^2） = \sum_{i=1}^n p（x_i） x_i^2$，则方差公式简化为： $$ \text{Var}(X) = E(X^2) - \mu^2 $$
三、补充说明
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期望的计算 ：$E（X） = \sum_{i=1}^n p（x_i） x_i$
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样本方差 ：当数据为样本时，分母为 $n-1$ 而非 $n$，即 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n （x_i - \bar{x}）^2$
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性质 ：若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $\text{Var}（X+Y） = \text{Var}（X） + \text{Var}（Y）$
通过以上步骤，我们推导出了概率方差的核心公式及其本质含义。