三角函数中的正弦（sin）和余弦（cos）是基础函数，其核心公式及性质如下：

一、基本定义

• 正弦函数 ：$\sin\alpha = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$（直角三角形定义）

• 余弦函数 ：$\cos\alpha = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$（直角三角形定义）

二、平方关系

$$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $$

该公式是三角函数的核心恒等式，适用于任意角度

三、倒数关系

$$ \tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1, \quad \sin\alpha \cdot \csc\alpha = 1, \quad \cos\alpha \cdot \sec\alpha = 1 $$

通过正切、余切、正割、余割等函数定义推导得出

四、二倍角公式

$$ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $$

该公式用于计算角度的二倍正弦值

五、和差角公式

$$ \begin{align*} \sin(\alpha + \beta) &= \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \ \cos(\alpha + \beta) &= \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \end{align*} $$

用于计算两角和的正弦、余弦值

六、单位圆定义

在单位圆中，$\sin\theta$等于终边与y轴交点的纵坐标，$\cos\theta$等于横坐标，公式为： $$ \sin\theta = y, \quad \cos\theta = x $$

其中$（x, y）$是单位圆上对应角度$\theta$的点坐标

七、其他常用公式

• 诱导公式 ：$\sin（-\alpha） = -\sin\alpha$，$\cos（-\alpha） = \cos\alpha$等

• 平方根转换 ：$\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}$

以上公式覆盖了正弦、余弦的基础定义、核心恒等式及常用变换，适用于角度计算与理论推导。