不可以

根据我国《劳动合同法》及相关法律规定，事业单位在试用期内不得因员工生病而单方面解除劳动合同。具体分析如下：

一、试用期内的法律保护

1. 禁止单方解除

   《劳动合同法》第二十一条明确规定，在试用期内，除劳动者存在《劳动合同法》第三十九条（如严重违纪）和第四十条第一项、第二项（如严重失职、营私舞弊）的情形外，用人单位不得解除劳动合同。

2. 特殊情形的例外规定

   若员工在试用期内患病或非因工负伤，并处于规定的医疗期内，用人单位同样不得解除合同。医疗期的长短根据员工工龄确定，例如：

   • 实际工作年限10年以下的，在本单位连续工作满5年且距法定退休年龄不足5年的，医疗期5个月；

   • 实际工作年限10年以上的，在本单位连续工作满15年且距法定退休年龄不足5年的，医疗期15个月等。

二、医疗期后的处理方式

若员工医疗期结束且仍无法从事原工作或单位另行安排的工作，用人单位可依法解除劳动合同，但需提前30日书面通知或支付1个月工资。

三、违法解除的法律后果

若用人单位违反上述规定解除劳动合同，需按《劳动合同法》第四十八条的规定，以经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

总结

• 试用期生病 ：一般情况下不会被辞退，且医疗期内受法律保护；

• 医疗期结束 ：若无法胜任工作，可依法解除合同，但需提前通知或支付代通知金。

建议用人单位与员工协商处理此类问题，避免因法律风险引发纠纷。