教师副高级职称的评审管理主要 由省级人力资源和社会保障部门（省人社厅）和市级人力资源和社会保障部门（市人社局）共同负责 。具体流程如下：

1. 市级教育局职改办组织评审 ：教师副高级职称的评审首先由市级教育局职改办负责组织。教师需要根据自己的学历、教龄、工龄等相关条件进行申报，经学校同意，教育主管行政部门复核后，报市人社局职改部门审核批准。

2. 省级评审委员会评审 ：市级教育局职改办将申报材料报送至省级评审委员会进行评审。省级评审委员会负责具体的评审工作，评审通过后，报省人社厅备案。

3. 公示和审批 ：评审通过的人员名单会进行公示，公示期满无异议后，由省级人社厅和市人社局共同审批并颁发职称证书。

因此，教师副高级职称的评审管理涉及省级人社厅和市人社局两个部门，市级教育局职改办负责组织评审工作，而最终的审批和发证则由省人社厅和市人社局共同负责。建议教师在申报副高级职称时，详细了解所在地区的具体评审流程和条件，确保申报材料齐全、符合要求。