根据我国刑事诉讼法的规定，检察院不支持刑事抗诉后，当事人仍有权申诉。以下是具体说明：

一、申诉的可行性

1. 法律赋予的权利

根据《刑事诉讼法》第二百五十二条，当事人及其法定代理人、近亲属对已生效的判决、裁定，有权向人民法院或人民检察院提出申诉，且不得停止判决、裁定的执行。

2. 检察院不抗诉的后续救济途径

检察院不支持抗诉并不意味着案件审理程序终结。当事人仍可通过申诉途径寻求救济，且申诉不影响原判决、裁定的执行。

二、申诉的程序与要求

1. 申诉对象与期限

• 对检察院不抗诉决定不服的，可向上一级人民检察院申诉，需在法定期限内提交申诉书及案件材料。

• 具体期限可能因案件类型和程序不同而有所差异，通常需结合案件进展确定。

2. 申诉内容与证据

申诉时需提供新的证据或充分理由，证明原判决、裁定存在事实认定错误、证据不足、适用法律错误等情形。

• 上级检察院将审查申诉材料，若发现确有错误，可能重新审查案件或指令下级院再审。

三、注意事项

1. 申诉与上诉的区别

上诉是针对一审法院的程序，而申诉是针对检察院决定的救济途径，两者不可同时进行。

• 若对一审法院判决不服，应先提起上诉；若对检察院不抗诉决定不服，需通过申诉程序解决。

2. 执行与救济的衔接

申诉期间，原判决、裁定仍需执行。若申诉成功并进入再审程序，将中止或终止原判决的执行。

四、特殊情形处理

• 最高人民检察院的最终审查权

若地方检察院不支持抗诉，当事人可向最高人民检察院申请抗诉。若最高检仍驳回申诉，案件将进入再审程序。

• 执行异议与复议

若对执行行为不服，可依据《民事诉讼法》第二百零二条提出书面异议，并申请复议。

综上，检察院不支持抗诉后，当事人仍可通过申诉程序维护合法权益，但需注意申诉与上诉的程序区分及时间限制。